ĐỊNH LÝ XÊ VA

Hôm nay họ sẽ học tập về nhị định lý hình học, chính là định lý Ceva và định lý Menelaus. Nhì định lý này được dùng không ít trong hình học tập phẳng chính vì chúng mang đến phép chúng ta chứng minh về những điểm thẳng mặt hàng và các đường trực tiếp đồng quy. Chúng ta sẽ sử dụng một định lý về phần trăm diện tích tam giác để minh chứng hai định lý này. Cuối cùng, họ sẽ không ngừng mở rộng định lý Ceva cùng định lý Menelaus cho những đa giác bất kỳ.

Bạn đang xem: Định lý xê va



Chúng ta phân phát biểu hai định lý.Định lý Ceva:
mang lại tam giác $ABC$ và ba điểm $A"$, $B"$, $C"$ theo thứ tự nằm trên bố đường trực tiếp $BC$, $CA$, $AB$. Vậy thì ba đường thẳng $AA"$, $BB"$, $CC"$ đồng quy khi còn chỉ khi $$fracvecA"BvecA"C imes fracvecB"CvecB"A imes fracvecC"AvecC"B = -1.$$Định lý Menelaus: cho tam giác $ABC$ và tía điểm $A"$, $B"$, $C"$ thứu tự nằm trên cha đường thẳng $BC$, $CA$, $AB$. Vậy thì ba điểm $A"$, $B"$, $C"$ thẳng hàng khi và chỉ khi $$fracvecA"BvecA"C imes fracvecB"CvecB"A imes fracvecC"AvecC"B = 1.$$

Tỷ lệ có dấuTrước hết, chúng ta giải ham mê về cam kết hiệu mà bọn họ đã sử dụng trong nhì định lý. Cam kết hiệu $fracvecA"BvecA"C$ được call là xác suất có dấu
. Bọn họ nhìn hình vẽ dưới đây. Trong mẫu vẽ này chúng ta thấy rằng xác suất thông hay là $fracUXUY = 2$, tuy nhiên, phần trăm có lốt lại là $fracvecUXvecUY = -2$. Đó nguyên nhân là $vecUX$ và $vecUY$ được bố trí theo hướng ngược nhau.
*

Tỷ lệ thông thường thì bao giờ cũng là số dương. Nhưng xác suất có dấu, hoàn toàn có thể là số âm, cũng rất có thể là số dương. Phần trăm có vệt $fracvecUXvecUY$ là số dương nếu $vecUX$ và $vecUY$ tất cả cùng hướng, với là số âm nếu như $vecUX$ với $vecUY$ gồm ngược hướng.Vì sao họ cần phần trăm có dấu?
Đó là vì phần trăm thông thường xuyên không thể dùng để xác định được một điểm duy nhất trê tuyến phố thẳng. Trong những khi đó tỷ lệ có dấu lại có ưu điểm này.Chúng ta rước ví dụ. Trả sử trê tuyến phố thẳng $XY$, chúng ta cần xác minh điểm $Z$ làm sao cho $fracZXZY = 2$.
*

Nhìn mẫu vẽ trên đây, giả dụ dùng xác suất thông thường, thì bạn có thể tìm được nhị điểm thoã mãn, sẽ là $U$ cùng $V$ bởi vì $$fracUXUY = fracVXVY = 2.$$Nếu chúng ta dùng phần trăm có dấu, thì chỉ bao gồm duy nhất
một điểm $V$ thoã mãn $fracvecVXvecVY = 2$.Điểm $U$ sẽ không còn thoã mãn bởi vì $fracvecUXvecUY = -2 eq 2$. Diện tích có dấuTương tự như phần trăm có dấu, chúng ta có thể định nghĩa diện tích có dấu. Diện tích thường thì thì bao giờ cũng là số dương, nhưng diện tích s có dấu rất có thể là số âm, cũng hoàn toàn có thể là số dương, dựa vào vào chiều quay của những đỉnh.Trong phương diện phẳng, nếu chúng ta vẽ một hệ trục tọa độ $0xy$ thì hồ hết điểm $A$ trong phương diện phẳng sẽ sở hữu được toạ độ $(A_x, A_y)$. Họ định nghĩa $$ = A_x B_y - A_y B_x$$ và ăn diện tích bao gồm dấu của tam giác $ABC$ là $$overlines(ABC) = frac12( + + ).$$
*

Ở mẫu vẽ trên, bọn họ có tọa độ của những điểm là $A(-5,2)$, $B(-3,7)$, $C(3,2)$. Các bạn cũng có thể tính được $$ = A_x B_y - A_y B_x = (-5) (7) - (2) (-3) = -29,$$ $$ = B_x C_y - B_y C_x = (-3) (2) - (7) (3) = -27,$$ $$ = C_x A_y - C_y A_x = (3) (2) - (2) (-5) = 16.$$ do đó $$overlines(ABC)= frac12( + + )= frac12(-29-27+16)=-20.$$Trong lúc ấy $=-16$, $=27$, $=29$ cùng $overlines(ACB)= 20$.Định lý về phần trăm diện tíchBây giờ họ sẽ phát biểu về một định lý dễ dàng và đơn giản về tỷ lệ diện tích mà chúng ta sẽ dùng để chứng tỏ định lý Ceva và định lý Menelaus.Định lý về xác suất diện tích.
cho hai tam giác $ABU$ và $ABV$ bao gồm cùng một cạnh bình thường $AB$. Đường thẳng nối nhì đỉnh $UV$ giảm đường trực tiếp $AB$ tại điểm $T$. Vậy thì $$fracoverlines(ABU)overlines(ABV) = fracvecTUvecTV.$$
Định lý này khá là rõ ràng nếu chúng ta chỉ cân nhắc tỷ lệ thông thường (không gồm dấu). Đó nguyên nhân là nếu bọn họ kẻ những đường cao $UU"$ và $VV"$ đi xuống đường thẳng $AB$ thì $$fracs(ABU)s(ABV) = fracAB imes UU" / 2AB imes VV" /2 = fracUU"VV" = fracTUTV.$$ Kỳ sau bọn họ sẽ minh chứng định lý này mang đến trường hợp tỷ lệ có dấu.Chứng minh Định lý Ceva với Định lý MenelausDùng định lý về tỷ lệ diện tích, chúng ta có cách chứng minh rất đơn giản và thú vị mang đến Định lý Ceva và Định lý Menelaus.Chứng minh Định lý Ceva.
mang sử tía đường trực tiếp $AA"$, $BB"$, $CC"$ đồng quy tại điểm $I$. Vậy thì theo định lý về xác suất diện tích, bọn họ có $$fracvecA"BvecA"C = fracoverlines(IAB)overlines(IAC), ~~~~fracvecB"CvecB"A = fracoverlines(IBC)overlines(IBA), ~~~~fracvecC"AvecC"B = fracoverlines(ICA)overlines(ICB).$$
Vậy $$fracvecA"BvecA"C imes fracvecB"CvecB"A imes fracvecC"AvecC"B = fracoverlines(IAB)overlines(IAC) imes fracoverlines(IBC)overlines(IBA) imes fracoverlines(ICA)overlines(ICB)$$ $$= left( - fracoverlines(IAB)overlines(ICA) ight) imes left( - fracoverlines(IBC)overlines(IAB) ight) imes left( - fracoverlines(ICA)overlines(IBC) ight) = -1.$$Trường vừa lòng ngược lại, giả dụ $$fracvecA"BvecA"C imes fracvecB"CvecB"A imes fracvecC"AvecC"B = -1,$$ họ cần chứng tỏ rằng tía đường thẳng $AA"$, $BB"$, $CC"$ đồng quy. Trả sử $AA"$ với $BB"$ cắt nhau tại $I$. điện thoại tư vấn $C""$ là giao điểm của $CI$ với $AB$, bọn họ cần chứng minh $C"" = C"$. Thực vậy, cũng chính vì $AA"$, $BB"$, $CC""$ đồng quy buộc phải theo tựa như các gì bọn họ vừa chứng minh chấm dứt thì $$fracvecA"BvecA"C imes fracvecB"CvecB"A imes fracvecC""AvecC""B = -1$$ do đó $$fracvecC""AvecC""B = fracvecC"AvecC"B.$$ Vì tỷ lệ có dấu khẳng định duy nhất
một điểm trên phố thẳng $AB$ cho nên vì thế $C" = C""$.Vậy họ chứng minh ngừng định lý Ceva.Chứng minh Định lý Menelaus.

Xem thêm: Công Ty Tnhh Truyền Thông Và Quảng Cáo Thiên Sơn, Công Ty In Kts Thiên Sơn

đưa sử ba đường trực tiếp $A"$, $B"$, $C"$ thẳng hàng. Bọn họ lấy ngẫu nhiên hai điểm $I$ với $J$ nằm trên đường thẳng $A"B"C"$. Theo định lý về tỷ lệ diện tích, bọn họ có $$fracvecA"BvecA"C = fracoverlines(IJB)overlines(IJC), ~~~~fracvecB"CvecB"A = fracoverlines(IJC)overlines(IJA), ~~~~fracvecC"AvecC"B = fracoverlines(IJA)overlines(IJB).$$
Vậy $$fracvecA"BvecA"C imes fracvecB"CvecB"A imes fracvecC"AvecC"B = fracoverlines(IJB)overlines(IJC) imes fracoverlines(IJC)overlines(IJA) imes fracoverlines(IJA)overlines(IJB) = 1.$$Trường hợp trái lại thì chứng tỏ tương từ như định lý Ceva.Như vậy họ đã bệnh minh hoàn thành định lý Ceva cùng định lý Menelaus. Các bạn học cấp 2 chưa học về phần trăm có dấu và ăn mặc tích bao gồm dấu thì vẫn có thể dùng cách chứng tỏ này được bằng cách sử dụng xác suất thông thường và diện tích thông thường. Riêng so với định lý Menelaus, thay bởi vì dùng xác suất diện tích, các chúng ta có thể sử dụng xác suất đường cao hạ từ các đỉnh $A$, $B$, $C$ xuống đường thẳng $A"B"C"$.
Mở rộng lớn Định lý Ceva cùng Định lý MenelausChúng ta thấy cách chứng minh ở trên rất solo giản, cơ mà thú vị tại phần là bọn họ dễ dàng không ngừng mở rộng được Định lý Ceva với Định lý Menelaus cho 1 đa giác bất kỳ.Ví dụ dưới đây là định lý Ceva với định lý Menelaus cho ngũ giác.Định lý Ceva mang đến ngũ giác.
đến ngũ giác $A_1 A_2 A_3 A_4 A_5$ và năm điểm $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, $B_5$ theo lần lượt nằm bên trên năm mặt đường thẳng $A_5 A_2$, $A_1 A_3$, $A_2 A_4$, $A_3 A_5$, $A_4 A_1$. Nếu những đường thẳng $A_1 B_1$, $A_2 B_2$, $A_3 B_3$, $A_4 B_4$, $A_5 B_5$ đồng quy thì $$fracvecB_1 A_5vecB_1 A_2 imes fracvecB_2 A_1vecB_2 A_3 imes fracvecB_3 A_2vecB_3 A_4 imes fracvecB_4 A_3vecB_4 A_5 imes fracvecB_5 A_4vecB_5 A_1= -1.$$
Chứng minh.
trả sử năm con đường thẳng $A_1 B_1$, $A_2 B_2$, $A_3 B_3$, $A_4 B_4$, $A_5 B_5$ đồng quy trên điểm $I$ thì theo định lý về tỷ lệ diện tích, họ có $$fracvecB_1 A_5vecB_1 A_2 imes fracvecB_2 A_1vecB_2 A_3 imes fracvecB_3 A_2vecB_3 A_4 imes fracvecB_4 A_3vecB_4 A_5 imes fracvecB_5 A_4vecB_5 A_1$$ $$= fracoverlines(I A_1 A_5)overlines(I A_1 A_2) imes fracoverlines(I A_2 A_1)overlines(I A_2 A_3) imes fracoverlines(I A_3 A_2)overlines(I A_3 A_4) imes fracoverlines(I A_4 A_3)overlines(I A_4 A_5) imes fracoverlines(I A_5 A_4)overlines(I A_5 A_1)$$ $$= left( - fracoverlines(I A_5 A_1)overlines(I A_1 A_2) ight) left( - fracoverlines(I A_1 A_2)overlines(I A_2 A_3) ight) left( - fracoverlines(I A_2 A_3)overlines(I A_3 A_4) ight) left( - fracoverlines(I A_3 A_4)overlines(I A_4 A_5) ight) left( - fracoverlines(I A_4 A_5)overlines(I A_5 A_1) ight) = -1.$$Định lý Menelaus mang lại ngũ giác. mang lại ngũ giác $A_1 A_2 A_3 A_4 A_5$ với năm điểm $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, $B_5$ theo lần lượt nằm bên trên năm đường thẳng $A_1 A_2$, $A_2 A_3$, $A_3 A_4$, $A_4 A_5$, $A_5 A_1$. Nếu những điểm $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, $B_5$ thẳng hàng thì $$fracvecB_1 A_1vecB_1 A_2 imes fracvecB_2 A_2vecB_2 A_3 imes fracvecB_3 A_3vecB_3 A_4 imes fracvecB_4 A_4vecB_4 A_5 imes fracvecB_5 A_5vecB_5 A_1= 1.$$
Chứng minh.
đưa sử năm điểm $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, $B_5$ nằm trên thuộc một đường thẳng, chúng ta lấy ngẫu nhiên hai điểm $I$, $J$ trên phố thẳng này thì theo định lý về xác suất diện tích, họ có $$fracvecB_1 A_1vecB_1 A_2 imes fracvecB_2 A_2vecB_2 A_3 imes fracvecB_3 A_3vecB_3 A_4 imes fracvecB_4 A_4vecB_4 A_5 imes fracvecB_5 A_5vecB_5 A_1$$ $$= fracoverlines(I J A_1)overlines(I J A_2) imes fracoverlines(I J A_2)overlines(I J A_3) imes fracoverlines(I J A_3)overlines(I J A_4) imes fracoverlines(I J A_4)overlines(I J A_5) imes fracoverlines(I J A_5)overlines(I J A_1) = 1.$$ Bây giờ chúng ta phát biểu định lý Ceva và định lý Menelaus mang đến đa giác bất kỳ.Định lý Ceva chođagiác.Cho đagiác $n$-cạnh$A_1 A_2 dots A_n$ cùng $n$ điểm $B_1$, ..., $B_n$, trong các số ấy điểm $B_i$ nằm trên phố thẳng $A_i-1 A_i+1$. Trường hợp $n$ con đường thẳng $A_1 B_1$, $A_2 B_2$, ..., $A_n B_n$ đồng quy thì $$prod_i=1^n fracvecB_i A_i-1vecB_i A_i+1 = (-1)^n.$$Định lý Menelaus chođagiác.Cho đagiác $n$-cạnh$A_1 A_2 dots A_n$ và $n$ điểm $B_1$, ..., $B_n$, trong những số ấy điểm $B_i$ nằm trên phố thẳng $A_i A_i+1$. Nếu các điểm $B_1$, $B_2$, ..., $B_n$ thẳng hàng thì $$prod_i=1^n fracvecB_i A_ivecB_i A_i+1 = 1.$$Như vậy từ bây giờ chúng ta đang học về định lý Ceva và định lý Menelaus. Cả hai định lý được chứng tỏ nhờ sử dụng một định lý vềtỷ lệ diện tích tam giác.Cách chứng minh này thật là hay bởi nó mang đến phép chúng ta mở rộng hai định lý này mang đến đa giác bất kỳ.Chúng ta tạm ngưng ở đây. Xin hẹn gặp mặt lại chúng ta ở kỳ sau.Bài tập về nhà.1. Ở trong hình bên dưới đây, chứng minh rằng $$fracUBUC = fracVBVC.$$
2. Cho tam giác $ABC$ với độ dài các cạnh $AB = c$, $BC = a$, $CA = b$. Mang sử mặt đường tròn nội tiếp tam giác xúc tiếp với những cạnh ở các điểm $A"$, $B"$, $C"$. Tính những độ dài $AB"$, $AC"$, $BA"$, $BC"$, $CA"$, $CB"$ theo $a$, $b$, $c$. Chứng tỏ rằng tía đường thẳng $AA"$, $BB"$, $CC"$ đồng quy.
3. Mở rộng định lý Menelaus mang lại trường hợp các điểm trong ko gian. Ví dụ điển hình với 4 điểm bọn họ có việc sau.Cho tứ diện $ABCD$. Một mặt phẳng cắt các đường thẳng $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ tại những điểm $X$, $Y$, $Z$, $T$. Chứng tỏ rằng $$fracvecXAvecXB imes fracvecYBvecYC imes fracvecZCvecZD imes fracvecTDvecTA = 1.$$
4. Mang ví dụ một vài điểm $A$, $B$, $C$ trên hệ trục toạ độ $0xy$ rồi tính diện tích có vệt $overlines(ABC)$. Chúng ta có phát hiện ra bao giờ thì $overlines(ABC)$ là số dương và khi nào $overlines(ABC)$ là số âm không?5. Lấy ví dụ một vài điểm $A$, $B$, $C$ ở thẳng hàng trên hệ trục toạ độ $0xy$ rồi tính diện tích có dấu $overlines(ABC)$.6. Chứng minh rằng $ = -$, $ = 0$ và $overlines(ABC) = -overlines(ACB)$.7. Hotline $O$ là chổ chính giữa điểm của hệ trục toạ độ $0xy$. Minh chứng rằng $$overlines(OAB) = frac12 , ~~~~overlines(OBC) = frac12 , ~~~~overlines(OCA) = frac12 ,$$từ đó suy ra $$overlines(ABC) = overlines(OAB) + overlines(OBC) + overlines(OCA).$$Sử dụng hằng đẳng thức bên trên để minh chứng rằng với tất cả điểm $M$, chúng ta có $$overlines(ABC) = overlines(MAB) + overlines(MBC) + overlines(MCA)$$8. Lấy ví dụ một vài ba điểm $A$, $B$, $C$, $D$ bên trên hệ trục toạ độ $0xy$ rồi tính diện tích s có vết $$overlines(ABCD) = frac12( + + + ).$$Kiểm tra coi diện tích thông thường $s(ABCD)$ tất cả tương xứng với diện tích s có dấu $overlines(ABCD)$ không.Mở rộng lớn khái niệm diện tích có dấu cho 1 đa giác bất kỳ.
Labels:cấp 2,cấp 3,Ceva,diện tích,diện tích gồm dấu,đa giác,Định lý Mê-nê-la-uýt,Định lý Xê-va,hình học,hình học tập phẳng,Menelaus,tam giác,tâm tỉ cự,vectơ
Bài đăng mới hơnBài đăng Cũ hơnTrang chủ

Ủng hộ vườn Toán bên trên facebook


Lưu trữ Blog


►  2017(1) ►  2016(7) ►  2015(12) ►  2014(12) ▼  2013(26) ▼  tháng sáu(3) ►  2012(36) ►  2011(7)

Bài toán kết nối facebook

Phép nhân thời đồ dùng đá

Mắt Biếc hồ Thu

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pitago

1 = 2012 = 2013

Dãy số Fibonacci cùng một việc xếp hình

James vẽ hình

Câu hỏi của James

Hình vuông số thiết yếu phương vi diệu của Vianney!

Câu iq về đo lường

Công thức lượng giác Gauss mang lại 17-giác đều

Chào năm mới tết đến 2014

Chào năm mới tết đến 2015

Chào năm mới 2016

Không gian 4 chiều là gì?

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Ngày số Pi (2015)

Ngày số Pi (2016)

0.9999999... Có bởi 1 không? (2015)

Hình tam giác

Bàn cờ vua và kim từ tháp


Dãy số - Phần 1

Dãy số - Phần 2Dãy số - Phần 3Dãy số - Phần 4Dãy số - Phần 5Dãy số - Phần 6Dãy số - Phần 7Dãy số - Phần 8Dãy số - Phần 9


Tam giác Pascal

Quy nạpQuy nạp IIQuy nạp IIINhị thức Newton1 = 2012 = 2013Đa thức nội suy NewtonĐa thức nội suy LagrangeChứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suyTổng luỹ thừa


Số phức


Số phức

công thức Moivre


Lượng giác


Công thức lượng giác đến góc bội

Công thức lượng giác Gauss mang lại 17-giác đều

Ngày số Pi (2016)

Radian là gì?


modulo - Phần 1

modulo - Phần 2

modulo - Phần 3

modulo - Phần 4

modulo - Phần 5

modulo - Phần 6

Số nguyên tố

Định lý Euclid về số nguyên tố

Một vài việc về số nguyên tố

Định lý Wilson

Bộ số Pitago

Modulo cho số hữu tỷ

Modulo đến số hữu tỷ II

Chứng minh lại định lý Wilson

Bổ đề Bezout

Thuật toán Euclid

Tổng luỹ thừa

Tổng luỹ thừa với định lý Wolstenholme

Câu iq về đo lường

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Bò đi nhỏ bọ cạp!

Liên phân số Fibonacci

Hằng đẳng thức Pitago

Hình vuông số vi diệu của Euler


Bài toán liên kết facebook

Dãy số Fibonacci và một vấn đề xếp hìnhHằng đẳng thức về dãy số FibonacciDãy số Fibonacci với tam giác Pascal


Định lý Pitago

Định lý mặt đường cao tam giác vuôngĐịnh lý MorleyPhương tíchTrục đẳng phương và trung khu đẳng phươngĐịnh lý Ceva cùng Định lý MenelausLục giác kỳ diệuĐịnh lý PascalĐịnh lý PappusCánh bướm PascalBài toán bé bướmĐịnh lý ngôi sao sáng Do TháiHãy xem xét trường hợp quánh biệtBài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất cùng một tính chất của hình elípĐiểm Fermat của hình tam giácĐiểm Fermat của hình tam giác II


Dựng hình bằng thước cùng compa

Bài toán chia hình tứ giácDựng hình ngũ giác đềuDựng hình nhiều giác đềuDựng nhiều giác số đông 15 cạnhĐịnh lý đường cao tam giác vuôngThuật toán dựng hìnhCông thức lượng giác Gauss mang lại 17-giác đông đảo Dựng hình chỉ bởi compa dùng compa chia các đoạn thẳng